Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале , а не только значения или .
где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству .
Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.
Основные определения[]
Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда
Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .
Величина
называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.
Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:
.
Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .
Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .
Сравнение нечётких множеств[]
Пусть и нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .
содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :
В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так:
где
Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде
где
Свойства нечётких множеств[]
α-разрезом нечёткого множества, обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:
то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):
Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация
Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие
для любых и .
Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие
для любых и .
Операции над нечёткими множествами[]
При
Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в и :
Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
Объединением нечётких множеств и называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно и :
Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
Отрицанием множества при называется множество с функцией принадлежности:
для каждого .
Альтернативное представление операций над нечёткими множествами[]
Пересечение[]
В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом
где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:
, для .
Объединение[]
В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом
где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:
, для .
Связь с теорией вероятностей[]
Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Последовательность теорем, описывающих это сведение, дана в монографиях [2, 3, 4]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .
Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.
Примеры[]
Литература[]
Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.
Батыршин И.З., Недосекин А.О., Стецко А.А., Тарасов В.Б., Язенин А.В., Ярушкина Н.Г. Теория и практика нечетких гибридных систем. Под ред. Н.Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786-0
Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. - 224 c. ISBN 5-94052-027-8
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.
Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. М.: Знание, 1980. — 64 с.
Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с. ISBN 5-93517-103-1
![{\displaystyle [0,1]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/7254d8924aa1399d4254a857f3fe168593039774)
![{\displaystyle [0,1]\ }](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/dc259f993ec6e012d9bbd44b914d312f785a1b77)
![{\displaystyle M=[0,1]\ }](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/1fff4fa06e7a745a4f888af2d595a41861f454cc)
![{\displaystyle \mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geq \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle \!,}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/82f2c1da6a631a59c7d93ef5dcfc6a03865d6831)
![{\displaystyle \gamma \in [0,1]\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/5e0441f00948df4ba3daf8489672889285128070)
![{\displaystyle \mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leq \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle \!,}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/c847e2cb1bb4344afe08568a7ed375528a442304)
![{\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/55a185ddff6abc987cbf5cca579bb3a76be7297e)
![{\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x)]^{1 \over p}\}\!}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/53c700eec1a16e37c9383262e087805824f414fb)
