Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.
Содержание
Некооперативная игра в нормальной форме[]
Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка участников игры (сторон, игроков); Xi - множество стратегий участника i ∈ I; Hi - функция выигрыша участника i, определенная на множестве ситуаций и отображающая его во множество действительных чисел.
, где I - множествоНекооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.
1. Игроки, одновременно и независимо друг от друга, выбирают из множеств Xi свои стратегии. Вектор стратегий x = (x1, x2, ..., xn) всех игроков представляет собой ситуацию в игре.
2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции Hi(x), на этом взаимодействие между ними прекращается.
Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.
Некооперативная игра в развернутой форме[]
Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков I представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.
Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра - ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:
- начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
- промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
- терминальные, имеющие только входящие ребра.
Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.
Для каждой вершины дерева v, соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок i, совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока Xv. Каждому ходу x ∈ Xv соответствует ребро, выходящее из вершины v.
Для учета несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.
Для каждой вершины v, соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков Hi(v).
Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:
1. Игра начинается из начальной позиции.
2. В любой нетерминальной позиции v игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход x ∈ Xv, в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу x. Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.
3. Если игра попадает в терминальную позицию v, то все игроки получают выигрыши Hi(v), и игра завершается.
Принципы оптимальности[]
Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:
Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:
- ε-равновесие;
- равновесие в доминирующих стратегиях;
- решение игры по доминированию;
- равновесие в осторожных стратегиях.
Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:
- равновесие, совершенное по под-играм;
- секвенциальное равновесие;
- сильное секвенциальное равновесие.
Примеры[]
См.также[]
Литература[]
- Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. — М.: Высшая школа, 1998.
- Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.
Теория игр |
|
---|---|
Определения |
Некооперативная игра · Кооперативная игра · Антагонистическая игра · Стохастическая игра · Дифференциальные игры · Игрок · Стратегия ·Доминирование стратегий |
Принципы оптимальности |
Эффективность по Парето · Равновесие в доминирующих стратегиях · Решение по доминированию · Равновесие дрожащей руки · Равновесие, совершенное по под-играм · Собственное равновесие · Сильное равновесие · Эпсилон-равновесие · Коррелированное равновесие · Секвенциальное равновесие · Доминирование по риску ·Эволюционно стабильная стратегия |
Примеры игр |
Трагедия общин · Модель Бертрана · Модель Курно ·Модель Штакельберга |