Некооперативная игра

Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.

Некооперативная игра в нормальной форме

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка $\Gamma =<I,\ X_{i},\ H_{i}>$, где I - множество участников игры (сторон, игроков); X_i - множество стратегий участника i ∈ I; H_i - функция выигрыша участника i, определенная на множестве ситуаций $X=\prod _{i\in I}X_{i}$ и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки, одновременно и независимо друг от друга, выбирают из множеств X_i свои стратегии. Вектор стратегий x = (x₁, x₂, ..., x_n) всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции H_i(x), на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме

Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков I представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра - ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

• начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
• промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
• терминальные, имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева v, соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок i, совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока X_v. Каждому ходу x ∈ X_v соответствует ребро, выходящее из вершины v.

Для учета несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.

Для каждой вершины v, соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков H_i(v).

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции v игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход x ∈ X_v, в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу x. Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию v, то все игроки получают выигрыши H_i(v), и игра завершается.

Принципы оптимальности

Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

• равновесие дрожащей руки;
• собственное равновесие;
• сильное равновесие.

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

• ε-равновесие;
• равновесие в доминирующих стратегиях;
• решение игры по доминированию;
• равновесие в осторожных стратегиях.

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

• равновесие, совершенное по под-играм;
• секвенциальное равновесие;
• сильное секвенциальное равновесие.

Примеры

• Дилемма заключённого
• Трагедия общин

См.также

• Теория игр
• Равновесие Нэша

Литература

• Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. — М.: Высшая школа, 1998.
• Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.